고유값 분해 예제

지정된 행렬의 고유 값을 계산한다고 가정합니다. 행렬이 작으면 특성 다항식을 사용하여 이를 상징적으로 계산할 수 있습니다. 그러나 큰 행렬에서는 종종 불가능하며, 이 경우 숫자 메서드를 사용해야 합니다. 분해는 고유 벡터의 기본 속성에서 파생 될 수 있습니다:이 페이지는 고유 가치/고유 벡터 문제에 대 한 간단한 소개 (후자의 들어 본 적이 없는 경우 걱정 하지 마십시오). 이 글을 읽기 전에 기본 매트릭스 작업에 익숙해져야 합니다. 이 소재로 자신의 능력에 자신이 있다면, 그것을 건너 뛸 주시기 바랍니다. 이 서열은 거의 항상 가장 큰 크기의 고유 값에 해당하는 고유 벡터로 수렴됩니다, v는 고유 벡터 기준으로이 고유 벡터의 비 제로 구성 요소를 가지고 있는 경우 (또한 가장 큰 하나의 고유 가치만 이젠 값이 있다는 것을 제공). 크기)를 참조하십시오. 이 간단한 알고리즘은 일부 실용적인 응용 프로그램에서 유용합니다. 예를 들어 Google은 이를 사용하여 검색 엔진에서 문서의 페이지 순위를 계산합니다. [7] 또한, 전원 방법은 더 정교한 알고리즘의 출발점이다. 예를 들어, 시퀀스의 마지막 벡터뿐만 아니라 시퀀스의 모든 벡터의 범위를 보면 고유 벡터에 대한 더 나은 (더 빠른 수렴) 근사치를 얻을 수 있으며 이 아이디어는 Arnoldi 반복의 기초입니다. [6] 또는 중요한 QR 알고리즘은 전력 방법의 미묘한 변환을 기반으로 합니다.

[6] 양수 고유값만 있는 행렬을 양수 정행렬이라고 하는 반면, 고유값은 모두 음수인 경우 음수 명확한 행렬이라고 합니다. 그러나, 우리는 종종 그들의 고유 값과 고유 벡터로 행렬을 분해할 수 있습니다. 이렇게 하면 정수를 주요 요인으로 분해하는 것과 마찬가지로 행렬의 특정 속성을 분석하는 데 도움이 될 수 있습니다. 행렬 A가 고유화될 수 있고 고유값 중 어느 것도 0이 아닌 경우 A는 특이하지 않으며 A 행렬에 의해 역이 주어지면 부모 행렬의 각 차원에 대해 하나의 고유 벡터 및 고유 값이 있을 수 있습니다. 모든 사각형 행렬은 고유 벡터와 고유 값으로 분해 될 수 없으며 일부는 복잡한 숫자를 필요로하는 방식으로만 분해 될 수 있습니다. 상위 매트릭스는 고유 벡터 및 고유 값의 산물로 표시될 수 있습니다. 따라서 A의 고유 값은 -2와 5여야 한다는 것을 알 수 있습니다. 고유 값이 발견되면, 하나는 고유 벡터의 정의에서 해당 고유 벡터를 찾을 수 있습니다. (lambda = 5)의 경우, 알 수 없는 고유 벡터가 (v=(v_1, v_2)“인 아래와 같이 방정식을 설정하면 됩니다. 우리는 프로세스를 반전하고 고유 벡터와 고유 값만 주어진 원래 매트릭스를 재구성 할 수 있습니다. 우리는 p(λ)를 특성 다항식이라고 부르고, 특성 방정식이라고 하는 방정식은 알 수 없는 λ의 N차 다항식 방정식입니다.

이 방정식은 1 ≤ N을 ≤ N인 Nλ 별개의 해액을 갖습니다. 솔루션 집합, 즉 고유값은 A.[1][2][3] 두 번째 고유 값에 대해 동일한 절차를 거치는 스펙트럼이라고 합니다. ents는 해당 고유 값, Λii = λi입니다. 이러한 방식으로 다이고날링 가능한 행렬만 고려할 수 있습니다. 예를 들어 결함이 있는 행렬 [ 1 1 0 1] {표시 스타일 left[{begin{작은 행렬}1&111{작은 행렬}}}}]} 대각선으로 할 수 없습니다. 이 자습서에서는 선형 대수에서 고유 분해, 고유 벡터 및 고유 값값을 발견합니다.

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